【專欄】大甲西社國王與強盜玩數學的故事

文/王至劭（台聯政策顧問、台灣教授協會會員）

大甲西社(又稱道卡斯社)在三、四百年前相當旺盛，從南桃園、新竹、後龍、苑裡到大甲，大甲溪以北都是他們的領地，國王住大甲日南，漢名林武力，各地酋長總計有十幾個。我以前有一同事姓陳，化學老師，他的祖先住鐵砧山腳下，就是當地的酋長，名叫塔吉凸(Tagitu)，當時鐵砧山以西至海都是塔吉凸所掌管。

1731年，道卡斯族人抱怨漢官勞役過多，演變成官民衝突，1732年大清國漢官用百餘艘船引進六千多名大清國兵士及大批武器，攻擊平埔族，年底林武力還有其他十三位酋長被殺害，平埔族居民男性總計約兩百人被殺死，一千多人被俘虜，大多數是男丁，此後，領地十室九空，婦女大都寡居，孩子愈來愈少，剩下的逐漸融入漢人社會。福建分巡台灣道劉良璧作〈沙轆行〉形容：「皇恩許遷善，生者還其鄉；番婦半寡居，番童少雁行。嗟乎沙轆番，盛衰物之常。祇今防廳廨，荒煙蔓道旁。」大甲西社事件之後，塔吉凸家族男人大多死去，但並沒有被夷三族，還是有一些後世子孫流傳了下來，後來姓陳。

在塔吉凸被殺之前，他將他的領地管理得很好，人民生活井然有序，每年都有獵鹿季，吃不完的美味鹿肉，只不過後來官府很苛刻、徭役愈加繁重。塔吉凸很痛恨強盜，抓到強盜是不送官的，因官府拿到錢就會放人，不顧受害者感受。每次手下抓到強盜，就遞一個鹿皮袋子給他，裡面有6顆木球，4顆是白色的，2顆是黑的，只有顏色不一樣。強盜被蒙著眼睛，從袋子裡面取出3球，如果取出的全部都是白球，強盜只要賠償一定金額後立即釋放，摸到黑球就殺頭。試問強盜活命的機率？

機率做法往往有好幾種，我們首先可從一般機率方法切入。首先，6個球當中有4個是白球，所以第一次有4/6的的機率會抽中白球，第二次白球被已經被抽出一個，剩下3/5的機率會抽中白球，最後一次，白球剩下2個，總球數4個，所以抽中白球的機率剩下2/4，獨立事件機率相乘，因此，其機率就是1/5(4/6×3/5×2/4)，也就是0.2，20%的活命機率。

第二種解法，第一次抽的時候有4個白球，因此你可以有4種安全的抽籤方式，第二次白球少了一個，剩下3種安全的方式，最後一次，剩下2個，而在宇集裡面(分母)的樣本空間有多少種呢？第一次有6種抽籤的方式(所有球都計算在一起)，第二次有5種，最後一次有4種抽籤的方式，因此，(4×3×2)÷(6×5×4)還是等於1/5。

第三種解法，假設第一次抽中黑球和第二、三次抽中黑球是爲不同情況(白球意思相同)，那麼你的機率就是(4×3×2)再乘以3球排列數3×2×1=6除以〔(6×5×4)再乘以3球排列數3×2×1=6〕，3的階乘3×2×1分子父母消掉了，和前面一樣，還是等於1/5的機率。

年輕人讀物理、數學，如果能用不同的角度切入問題，常常讓一個問題有各種不同的解法，各面向切入，而解出來的答案是一樣的，這不是使問題變得復雜，而是使你旁敲側擊、融會貫通，實力真正的進步，程度好的同學一定要這麼做。數學是一切科學的基礎，甚至，根據我的觀察，一般當大老闆的數學也大都不錯，年輕學生一定要學好數學，了解其精義。