【專欄】人口、複利與神奇的微分方程式

微分方程式（Differential equation）是一種數學方程式，用來描述某一類函數與其導數之間的關係。微分方程式的解是一個滿足方程式的函數，通常微分方程式的解並不唯一，經常要給定恰當的初始條件或邊界條件才能確定。

微分方程式的應用十分廣泛，可以解決許多與導數有關的問題 。微分方程式在物理、化學、工程學、經濟學和數理生物學等領域都有應用。

微分方程的起源與需求相當基礎與普遍，也相當有趣，我們就來做個簡單假設問題：

假設有個國家2000年時人口是4000萬，2010年的時候人口是4200萬，假設這個國家沒有戰爭、沒有嚴重天災，經濟、社會各方面都穩定，人口按照此等速率成長，試問，該國到了2050年時會有多少人口？

  解法：

按照這個假定，該國的人口成長模型會遵照以下的微分方程，每單位時間t人口增長，將會正比於其人口成長係數k，以及當時的人口總量y。

微分方程兩邊同乘e的指數：

A為常數，此即為微分方程之解。接著我們求A值，

因此2050年時，總計5105.12萬，如下，

其實錢的複利計算也是完全一樣的，你如果4000萬放銀行，每年利率固定，10年後變成4200萬，那利率是多少呢？50年後呢？和上面完全一樣。現在銀行定存利率常不到1%，上面假設是合理的。

這個題目用猜的勉強也可以猜出來，打個比方，先試試每年的倍增率是1.01，可用計算機慢慢按，或使用可求次方的工程用計算機求解，10年後我們發覺超過了，我們改爲1.005，發覺還是超過了一點點，改爲1.004試試，不足，用內插法很快可以找出不錯的答案。

微分方程就是這麼有趣，也這麼實用，對賺錢對銀行複利有興趣的更是要多留意。